高数微分方程的一道题,y"-y'^2=1,求方程的通解.文字叙述：y的二阶导数减...
高数微分方程的一道题,y"-y'^2=1,求方程的通解.文字叙述：y的二阶导数减去y的一阶导数的平方等于1,求方程的通解....
高数微分方程的一道题,y"-y'^2=1,求方程的通解. 文字叙述：y的二阶导数减去y的一阶导数的平方等于1,求方程的通解.
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设y'=p,则y''=pdp/dy代入原方程,得pdp/dy-p²=1==>pdp/(1+p²)=dy==>d(1+p²)/(1+p²)=2dy==>ln(1+p²)=2y+ln(C1²)
(C1是积分常数)==>1+p²=C1e^(2y)==>p=±√[C1²e^(2y)-1]==>dy/√[C1²e^(2y)-1]=±dx==>e^(-y)dy/√[C1²-e^(-2y)]=±dx==>d[e^(-y)]/√[C1²-e^(-2y)]=±dx==>arcsin[e^(-y)/C1]=C2±x
(C2是积分常数)==>e^(-y)=C1sin(C2±x)故原方程的通解是e^(-y)=C1sin(C2±x)
(C1,C2是积分常数).
(C1是积分常数)==>1+p²=C1e^(2y)==>p=±√[C1²e^(2y)-1]==>dy/√[C1²e^(2y)-1]=±dx==>e^(-y)dy/√[C1²-e^(-2y)]=±dx==>d[e^(-y)]/√[C1²-e^(-2y)]=±dx==>arcsin[e^(-y)/C1]=C2±x
(C2是积分常数)==>e^(-y)=C1sin(C2±x)故原方程的通解是e^(-y)=C1sin(C2±x)
(C1,C2是积分常数).
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