Question

请问这几道高数的答案是什么？

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Answer 1

1.令x=ρcosθsinφ，y=2ρsinθsinφ，z=ρcosφ
则∫∫∫Ω z^4dxdydz
=2∫(0，2π) dθ∫(0，π) dφ∫(0，1) ρ^4 (cosφ)^4ρ²sinφdρ
=－2∫(0，2π) dθ∫(0，π) (cosφ)^4dcosφ∫(0，1) ρ^6dρ
=－2×2π×1/5×(－1－1)×1/7
=8π/35
2.
令x=ρcosθsinφ，y=ρsinθsinφ，z=ρcosφ
则锥面为φ=π/4，半球面为ρ=R，φ∈[0，π/2]
∫∫∫Ω ∨(x²＋y²＋z²)dv
=∫(0，2π) dθ∫(0，π/4) dφ∫(0，R) ρ³sinφdρ
=－∫(0，2π) dθ∫(0，π/4)dcosφ∫(0，R) ρ³dρ
=－2π×(∨2/2－1)×1/4 R^4
=(2－∨2)/4 πR^4

附
dv=|∂(x，y，z)/∂(ρ，θ，φ)|dρdθdφ
广义球面坐标变换时
x=aρcosθsinφ，y=bρsinθsinφ，z=cρcosφ
通过求解三阶行列式可得
|∂(x，y，z)/∂(ρ，θ，φ)|=abcρ²sinφ

Answer 2