Question

证明xlnx+ylny>(x+y)ln[(x+y)/2]，不能用凸函数法和导数，单调性证明，要初等数学中的方法

条件是x，y大于0，且不相等

Answer 1

xlnx+ylny-xln(x+y)-yln(x+y)-(x+y)ln(1/2)
=xln[x/(x+y)]+yln[y/(x+y)]-(x+y)ln(1/2)
=-xln(1+y/x)-yln(1+x/y)-(x+y)ln(1/2)
=-x[ln(1+y/x)+y/xln(1+z/y)-(1+y/x)ln2]
令y/x=t
即证
ln(1+t)+tln(1+1/t)-(1+t)ln2<0
由于x、y地位对等，所以设y>x，即t>1
构造f(t)=ln(1+t)+tln(1+1/t)-(1+t)ln2
求导f'(t)=ln(1+t)-lnt-ln2=ln(1+1/t)-ln2<0
所以f(t)是减函数
f(t)<f(1)=0
所以ln(1+t)+tln(1+1/t)-(1+t)ln2<0
所以-x[ln(1+y/x)+y/xln(1+z/y)-(1+y/x)ln2]>0
即xlnx+ylny>(x+y)ln[(x+y)/2]>0

求一阶导不算犯规吧？
要纯构造也行，不过非常麻烦。
不好意思，疏忽了，那儿是f(1)