已知：一个圆锥的底面半径为R,高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱，求圆柱的侧面积
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横截面如图所示,圆锥为△pab,圆柱为矩形cdef,底面圆心为o
则de∥op∥cf,op=h,oa=ob=r(圆锥底面半径),oc=od=r(圆柱底面半径)
∴bd/ob=de/op,
即bd/r=x/h
∴bd=rx/h
∴r=r-rx/h
圆柱底面周长
c=2πr=2π(r-rx/h)=-2πr/h(x-h)
∴圆柱侧面积
s=c×de=-2πr/h(x-h)/x=-2πr/h(x²-hx)=-2πr/h[(x-h/2)²-h²/4]
2)s是关于x的二次函数,开口向下,对称轴x=h/2
∴当x=h/2时,s取得最大值,最大值为-2πr/h×(-h²/4)=πrh/2
则de∥op∥cf,op=h,oa=ob=r(圆锥底面半径),oc=od=r(圆柱底面半径)
∴bd/ob=de/op,
即bd/r=x/h
∴bd=rx/h
∴r=r-rx/h
圆柱底面周长
c=2πr=2π(r-rx/h)=-2πr/h(x-h)
∴圆柱侧面积
s=c×de=-2πr/h(x-h)/x=-2πr/h(x²-hx)=-2πr/h[(x-h/2)²-h²/4]
2)s是关于x的二次函数,开口向下,对称轴x=h/2
∴当x=h/2时,s取得最大值,最大值为-2πr/h×(-h²/4)=πrh/2
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