∫根号下(1+(1/x)^2)dx=? 50
∫√(x²+1) dx= x/2 * √(x²+1) +1/2 * ln|x+√(x²+1)| +C，C为常数。
解题过程：
使用分部积分法来做
∫√(x²+1) dx
= x* √(x²+1) - ∫x *d√(x²+1)
= x* √(x²+1) - ∫ x² /√(x²+1) dx
= x* √(x²+1) - ∫ √(x²+1) dx + ∫ 1/√(x²+1) dx
所以得到
∫√(x²+1) dx
= x/2 * √(x²+1) +1/2 * ∫ 1/√(x²+1) dx
= x/2 * √(x²+1) +1/2 * ln|x+√(x²+1)| +C，C为常数
扩展资料：
分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。
常用的分部积分的根据组成被积函数的基本函数类型，将分部积分的顺序整理为口诀：“反对幂三指”。
分别代指五类基本函数：反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的积分。
分部积分的本质：
原本的函数是 udv，可能积分及不出来，但是变成 vdu 之后，有可能积出来，也有可能被积函数变得简单了。最常见的变得简单，有两个特色：对数函数消失了，或者幂次降低了。
分部积分的局限：
绝大多数的积分，是无法通过分部积分积出来的。有很多定积分是不定积分无论如何都积不出来的，一定要在特殊的定积分的条件下才能积分，而且必须使用复变函数、积分变换之类的特别方法才能解决。
原式＝∫√(1＋tan²t)dt/tant
＝∫sectdt/tant
＝∫dt/sint＝∫sintdt/sin²t
＝－∫d(cost)/(1－cos²t)
=－(1/2)∫[1/(1－cost)＋1/(1＋cost)]d(cost)
＝－1/2[－ln(1－cost)＋ln(1＋cost)]
=1/2ln|(1－cost)/ln(1＋cost)|
x=√3，则t=π/3, x=2, 则t=arctan2
带入：
=1/2ln|(1-1/√5)/(1+1/√5)|-1/2ln|(1-1/2)/(1+1/2)|
=1/2{ln3+ln[(1-√5/2]}
貌似没有正确答案！
解：令 1/x＝tant, t∈(-π/2,0)∪(0,π/2) 得
ʃ√[1+(1/x)²] dx
＝ʃ√(1+tan²t) d(1/tant)
＝ʃsectd(cott)
＝sectcott-ʃcottd(sect)
＝sectcott-ʃcotttantsectdt
＝sectcott-ʃsectdt
＝sectcott-ln|sect+tant|+C
＝x√[1+(1/x)²]-ln|√[1+(1/x)²]+1/x|+C,
＝{√(x²+1)-ln[√(x²+1)+1]+lnx+C, x>0,
{-√(x²+1)-ln[√(x²+1)-1]+ln(-x)+C, x<0.
