Question

若函数f(x)=a^x(a＞1)的定义域和值域均为【m,n】,则a的取值范围是？

Answer 1

∵f(x)=a^x(a>1)
∴f(x)是一个单调的增函数
∴f(m)=a^m=m
f(n)=a^n=n
等价于
a^x=x这个方程有两个不同的解m,n
lna^x=lnx
xlna=lnx
lna=(lnx)/x
令g(x)=(lnx)/x
则g'(x)=
(1-lnx)/(x^2)
令g'(x)=0
得到x=e
gmax=g(e)=1/e
∴g(x)<1/e
∴lna<1/e
∴1<a<e^(1/e)
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