Question

已知a,b,c是三角形三边。a^n+b^n =c^n（n>2）求证：三角形ABC形状

Answer 1

1.
要求证方程没有实数根，即求证△<0的过程
△=（b^2+c^2-a^2）^2-4b^2c^2=[(b+c)^2-a^2][(b-c)^2-a^2]
=[(b+c)^2-a^2][(b-c)^2-a^2]=（b+c-a)(b+c+a)(b-c+a)(b-c-a)
由三角形三变关系可得b-c-a<0,b+c-a>0,b+c+a>0,b-c+a>0，所以△<0
2,由于方程有2相等实数根，所以△=0
即16(a^2+b^2+c^2)^2-48(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)=0
整理很a^4+b^4+c^4-a^2b^2-a^c^2-b^2c^2=0
(a^2-b^2)^2+(a^2-c^2)^2+(c^2-b^2)^2=0
可推得a=b，
a=c，
c=b即a=b=c
3
△=4m^2-n^2=(2m+n)(2m-n)
由于m是一个等腰三角形的腰长，n是底边长，则m>n/2(作高，将等腰三角形分成2个直角三角形，斜边为m，直角边为n/2),即2m-n>0
则△>0，方程有2个不同实根

Answer 2

若三角形满足a^n+b^n=c^n则n>1
当n=2时由a^n+b^n=c^n易得直角三角形
另有(2RsinA)^n+(2RsinB)^n=(2RsinC)^n
(sinA)^n+(sinB)^n=(sinC)^n
又因为三角形满足A+B+C=180
当n>2时C>90，即钝角三角形