Question

求证三角不等式

Answer 1

设三角形ABC内切圆半径为r
外接圆半径为R
三边长为a,b,c（分别对应角A,B,C）面积为S

由三角形内切圆、外接圆的性质

r=2S/(a+b+c)

R=abc/4s

由正弦定理a=2RsinA
b=2RsinB
c=2RsinC

sinA+sinB+sinC=(a+b+c)/2R=S/Rr

sinAsinBsinC=(abc)/(2R)^3=4SR/8R^3=S/2R^2

要证sinA+sinB+sinC>=4sinAsinBsinC

就是要证S/Rr>=2S/R^2

就是要证R>=2r

而R>=2r即为欧拉不等式（或称欧拉公式）

证明请参考
http://zhidao.baidu.com/question/50620909.html?fr=qrl&cid=983&index=1&fr2=query

或
http://zhidao.baidu.com/question/50620774.html