Question

请问 用比较审敛法判断级数收敛性 1/(n*n^1/n) （n=1 to 无穷）

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

首先你自己可以证明
lim
1/(n^(1/n))=1
而
lim
1/(n·n^1/n)
/
(1/n)
=
lim
1/(n^1/n)
=
1
所以原级数和1/n有相同敛散性。
故原级数发散。

Answer 3

tan
π/(n^3+n+1)^1/2
等价于π/(n^3+n+1)^1/2
而
lim
[π/(n^3+n+1)^1/2]
/n^(3/2)=π
即
σπ/(n^3+n+1)^1/2和σ1/n^(3/2)具有相同的敛散性
而σ1/n^(3/2)收敛，
所以
σπ/(n^3+n+1)^1/2收敛
从而
σtan
π/(n^3+n+1)^1/2收敛。

Answer 4

请问
用比较审敛法判断级数收敛性
1/[n*n^(1/n)]
（n=1
to
无穷）
解：u‹n›=1/[n*n^(1/n)]
=1/n^[(n+1)/n]
将此级数与调和级数∑(1/n)作个比较：
由于n→∞lim{1/n^[(n+1)/n]}/(1/n)=n→∞limn/{n^[(n+1)/n]}=n→∞limn^[1-(n+1)/n]
=n→∞lim[n^(-1/n)]=n→∞lim[1/n^(1/n)]=1/{n→∞lim[n^(1/n)]}
=1/{n→∞lime^[(1/n)lnn]}=1/{n→∞lime^(1/n)}=1/e°=1
故原级数与调和级数等价，而调和级数是发散的，因此原级数也是发散的。
注：1/{n→∞lime^[(1/n)lnn]}=1/{n→∞lime^(1/n)用了罗比塔法则。