Question

求助——微分方程一个小题目

Answer 1

xy'-y-(y²-x²)/2=0
选y/x作为因变量，不难发现，上面可以化简为
(y/x)'=[(y/x)²-1]/2
即
(y/x)'/[(y/x)²-1]=1/2
下边做简单代换，令y/x=sect，则(y/x)'=[sint/(cost)^2]t'，且(y/x)²-1=(tant)^2代入化简可得
d(cost)/[1-(cost)^2]=-dx/2
积分可得
ln|(1+cost)/(1-cost)|=-x+A
即
(sect+1)/(sect-1)=Be^{-x}
即(y+x)/(y-x)=Be^{-x}
解得
y=[(Be^{-x}+1)/(Be^{-x}-1)]x
即，用双曲正切函数表示的话
y=-x/tanh[(x-C)/2]