Question

limx→0(sinx-tanx)/{[三次根号下(1+x^2)-1]*[根号下(1+sinx)-1]}

Answer 1

令三次根号下(1+x^2)=t，则t³-1=(t-1)(t²+t+1)
分子分母同乘以(t²+t+1)*[√(1+sinx)+1]得
limx→0(sinx-tanx)/{[三次根号下(1+x²)-1]*[√(1+sinx)-1]}
=limx→0(sinx-tanx)/{[t-1]*[√(1+sinx)-1]}
=limx→0(sinx-tanx)*(t²+t+1)*[√(1+sinx)+1]/{[t-1]*
(t²+t+1)*[√(1+sinx)+1]
[√(1+sinx)-1]}
=limx→0(sinx-tanx)*(t²+t+1)*[√(1+sinx)+1]/{[t³-1]*[(1+sinx)-1]}
=limx→0(sinx-tanx)*(t²+t+1)*[√(1+sinx)+1]/[(t³-1)sinx]
=limx→0(1-1/cosx)*(t²+t+1)*[√(1+sinx)+1]/(t³-1)
=limx→0(cosx-1)*(t²+t+1)*[√(1+sinx)+1]/[(t³-1)cosx]
=limx→0(cosx-1)*[三次根号下(1+x²)²+三次根号下(1+x²)+1]*[√(1+sinx)+1]/(x²cosx)
再对cosx运用倍角公式
=limx→0[-2sin²(x/2)]*[三次根号下(1+x²)²+三次根号下(1+x²)+1]*[√(1+sinx)+1]/(x²cosx)
=limx→0{[-2sin²(x/2)]/x²}*[三次根号下(1+x²)²+三次根号下(1+x²)+1]*[√(1+sinx)+1]/cosx
=limx→0
(-1/2){[sin(x/2)]/(x/2)}²
*
limx→0
[三次根号下(1+x²)²+三次根号下(1+x²)+1]*[√(1+sinx)+1]/cosx
=(-1/2)*1/[(1+1+1)(1+1)/1]
=(-1/2)*6
=
-3