Question

如图，点O为等边△ABC内一点，∠AOB=110°,∠BOC=135°。试问：（1）以OA、OB、OC为边，能否构成三角形？

如图，点O为等边△ABC内一点，∠AOB=110°,∠BOC=135°。试问：（1）以OA、OB、OC为边，能否构成三角形？若能，请求出该三角形各内角的度数。若不能，请说出理由；（2）如果∠AOB大小保持不变，那么当∠BOC等于多少度时，以OA、OB、OC为边的三角形是一个直角三角形？
https://gss0.baidu.com/7LsWdDW5_xN3otqbppnN2DJv/%BB%B9%BD%AB%BF%BC%C2%C7%B5%C4%B2%C5/pic/item/3c441ad75ad35298562c8468.jpg我是初二的，请用我学过的知识回答

Answer 1

（1）可以
将三角形AOC顺时针旋转，使AB与AC重合，O点移动到O'点。
三角形AO'O为等边三角形（因为∠O'AB=∠OAC,∠OAC+∠OAB=60度，所以∠OAB+∠O'AB=60度，且AO=AO'），所以AO'=AO=OO'.且OC=O'C，则三角形O'OB即为OA,OB,OC三条边构成的三角形。
（2）第一题的第二小问我和第二题一起做了。
我们来看看在一般情况下，三角形O'OB的内角是个什么情况。
首先，∠OO'B=∠AO'B-∠AO'O=∠AOC-60度
∠OBO'=∠ABO+∠O'BA=∠ABO+∠ACO=∠BOC-∠BAC=∠BOC-60度
另一个内角就等于180度减去其他两个内角。
所以第一题第二小问的答案就是：55、75、50
第二题呢，首先，我们可以看一下：当∠OO'B=90度时，∠AOC=150度，又因为∠AOB保持不变，所以此时∠BOC=100度。
当∠OBO'=90度时，∠BOC=150度。
当∠BOO'=90度时，∠AOC+∠BOC=210度，则∠AOB=150度与题意“∠AOB大小保持不变”不符。
所以，当∠BOC=150度或者100度时，以OA、OB、OC为边的三角形是一个直角三角形 。
此题蛮有趣的，打完之后才看到楼上已经有了解法。嗯……意思差不多，但是似乎我这个旋转的辅助线做法更加容易看懂……不过都可以的啦

Answer 2

①解：以OC为边作等边△OCD，连AD。
∵ △ABC是等边三角形
∴ ∠BCO=∠ACD (∠BCO+∠ACO=60°，∠ACD+∠ACO=60°)
∵ BC=AC，OC=CD
∴ △BCO≌△ACD (SAS)
∴ OB=AD，∠ADC=∠BOC
又∵OC=OD
∴△OAD是以线段OA，OB，OC为边构成的三角形
∵ ∠AOB=110°, ∠BOC=135°
∴ ∠AOC=115°
∴ ∠AOD=115°-60°=55°
∵ ∠ADC=135°
∴ ∠ADO=135°-60°=75°
∴ ∠OAD=180°-55°-75°=50°
∴ 以线段OA，OB，OC为边构成的三角形的各角是50°、55°、75°。

②∠AOB+∠AOC+∠BOC=∠AOB+∠AOC+∠ADC
=∠AOB+(∠AOD+∠DOC)+(∠ADO+∠CDO)
=∠110°+(∠AOD+60°)+(∠ADO+60°) =360°
∴∠AOD+∠ADO=130°
∴∠OAD=50°
当∠AOD是直角时，∠AOD=90°，∠AOC=90°+60°=150°，∠BOC=100°
当∠ADO是直角时，∠ADO=90°，∠ADC=90°+60°=150°，∠BOC=150°

Answer 3

以C点为圆心
CM长为半径做圆 交FM于一点N

则 CN＝CM
角CNM＝角CMN

所以 角BME＝角CNF

因为 AD为三角形ABC中的角平分线
所以 角BAD＝角DAC
因为 MF‖AD
所以 角NFC＝角DAC＝角DAB＝角MEB

由以上各条件
可证 三角形BEM全等于三角形CFN

所以 CF=BE