Question

如果矩阵A²=A，B²=B，试证明（A+B）²=A+B当且仅当AB=BA=0

Answer 1

a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=3a²+3b²+3c²
2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac=0
(a²-2ab+b²)+(b²-2bc+c²)+(c²-2ac+a²)=0
(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0
平方大于等于0,相加等于0,若有一个大于0,则至少有一个小于0,不成立
所以三个都等于0
所以a-b=0,b-c=0,c-a=0
a=b,b=c,c=a
所以a=b=c

Answer 2

请注意这里是矩阵，不是代数式！！
正解：（A+B）²=A²+B²+AB+BA，代入已知条件“A²=A，B²=B，AB=BA=0”，可得原结论“（A+B）²=A+B”

Answer 3

A平方=A，B的平方=B，
得（A+B）平方=A方+AB+BA+B方=0；
得AB+BA=0；
左乘A 与右成A得到
AAB+ABA=ABA+BAA
可以看出AB=BA
所以AB=BA=0