Question

证明：若一个向量组线性无关，则它的任何一个部分向量组也线性无关。

Answer 1

反证法：若某一个部分向量组线性相关，则原向量组线性相关
设原向量组为x1,x2……xn,如果某个部分向量组线性相关比如x1,x2,x3,
就是说a1*x1+a2*x2+a3*x3=0
时，a1,a2,a3,不全为0，则对b1*x1+b2*x2+……bn*xn=0
令b1=a1,b2=a2,b3=a3,b4=b5=……=bn=0该式成立，就是b1到bn不全为0
所以原向量组线性相关

Answer 2

你的“向量之间彼此线性无关”是什么意思？是说这组向量中，任何两个向量都线性无关吗？
如果是这样的话，不一定成立。
就以三个向量的向量组为例：
a=（1，0，0）；b=（0，1，0）；c=（1，1，0）
a和b线性无关，b和c线性无关，c和a线性无关。但是c=a+b，a、b、c之间线性相关。

Answer 3

反证法
向量组{an}线性无关
假设部分向量组
{ani},
{ni}是1,2,...,n的一个子集
若{ani}线性相关
则存在不全为零的数列，{kni}
使得sigma
kni
ani
=0
然后把向量组补全，令补上的向量的kn全是0
（kni依旧不变）
我们就有
sigma
kn
an
=0,
其中kn不全为零，这与原线性向量组线性无关矛盾
所以矛盾
原结论成立