Question

求对数及指数函数求导公式的推导．

Answer 1

e的定义：
e=lim(x→∞)(1+1/x)^x=2.718281828...
设a>0,a!=1
----
(log
a(x))'
=lim(Δx→∞)((log
a(x+Δx)-log
a(x))/Δx)
=lim(Δx→∞)(1/x*x/Δx*log
a((x+Δx)/x))
=lim(Δx→∞)(1/x*log
a((1+Δx/x)^(x/Δx)))
=1/x*lim(Δx→∞)(log
a((1+Δx/x)^(x/Δx)))
=1/x*log
a(lim(Δx→0)(1+Δx/x)^(x/Δx))
=1/x*log
a(e)
特殊地，当a=e时，(log
a(x))'=(ln
x)'=1/x。
----
设y=a^x
两边取对数ln
y=xln
a
两边对求x导y'/y=ln
a
y'=yln
a=a^xln
a
特殊地，当a=e时，y'=(a^x)'=(e^x)'=e^xln
e=e^x。