Question

初一关于求阴影部分面积的数学题

Answer 1

如图，设扇形与圆的交点为E，连接CE,OE,OC
由图可知，有如下关系：
S阴影=S扇形CAD+S圆-2S空白
而 S扇形CAD=1/2*π/2*AC^2=4π；S圆=π*OA^2=2.5^2π=6.25π
S空白=S△ABC+S扇形OAE+S扇形OBE
已知OC=OE=OA=OB=2.5，CE=AC=4
由余弦定理 OE^2=OC^2+CE^2-2OC*CE*cos∠OCE
可得 cos∠OCE=CE/(2OC)=4/(2*2.5)=4/5
可得 ∠OCE≈37°，∴∠BCE=90°-37°*2=16°
而 ∠ACE=2∠OCE=37°*2=74°，∠BOE=2∠BCE=16°*2=32°
S△ABC=1/2*AC*BC=1/2*4*3=6，
S四边形OACEO=2S△OCE=2*1/2*OC*CE*sin∠OCE
=2*1/2*2.5*4*3/5=6
S扇形OAE=S扇形CAE-S四边形OACEO
=1/2*74°/180°*π*AC^2-6
=1/2*0.411π*4^2-6
=3.3π-6
S扇形OBE=1/2*32°/180°*π*OB^2
=1/2*0.178π*2.5^2
=0.56π
∴S空白=S△ABC+S扇形OAE+S扇形OBE
=6+3.3π-6+0.56π
=3.86π
∴S阴影=S扇形CAD+S圆-2S空白
=4π+6.25π-2*3.86π
=2.53π
≈7.95

即为阴影部分的面积