什么是导数?积分?微分?

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老头丸A
2019-09-11 · TA获得超过3万个赞
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导数定义为:当自变量的增量趋于零时,因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时,称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。
  导数另一个定义:当x=x0时,f‘(x0)是一个确定的数。这样,当x变化时,f'(x)便是x的一个函数,我们称他为f(x)的导函数(derivative
function)(简称导数)。
  y=f(x)的导数有时也记作y',即
f'(x)=y'=lim⊿x→0[f(x+⊿x)-f(x)]/⊿x
微分  
一元微分
  
定义:
  
  设函数y
=
f(x)在x.的邻域内有定义,x0及x0
+
Δx在此区间内。如果函数的增量Δy
=
f(x0
+
Δx)

f(x0)可表示为
Δy
=
AΔx
+
o(Δx)(其中A是不依赖于Δx的常数),而o(Δx0)是比Δx高阶的无穷小,那么称函数f(x)在点x0是可微的,且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分,记作dy,即dy
=
AΔx。
  通常把自变量x的增量
Δx称为自变量的微分,记作dx,即dx
=
Δx。于是函数y
=
f(x)的微分又可记作dy
=
f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此,导数也叫做微商。
  当自变量X改变为X+△X时,相应地函数值由f(X)改变为f(X+△X),如果存在一个与△X无关的常数A,使f(X+△X)-f(X)和A·△X之差关于△X→0是高阶无穷小量,则称A·△X是f(X)在X的微分,记为dy,并称f(X)在X可微。可导不一定可微,可微一定可导,这时A=f′(X)。再记A·△X=dy,则dy=f′(X)dX。例如:d(sinX)=cosXdX。
  
几何意义:
  设Δx是曲线y
=
f(x)上的点M的在横坐标上的增量,Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量,dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时,|Δy-dy|比|Δy|要小得多(高阶无穷小),因此在点M附近,我们可以用切线段来近似代替曲线段。
  
多元微分
  同理,当自变量为多个时,可得出多元微分得定义。
不定积分  设F(x)是函数f(x)的一个原函数,我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C(C为任意常数)叫做函数f(x)的不定积分。
  记作∫f(x)dx。
  其中∫叫做积分号,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式,C叫做积分常数,求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。
  由定义可知:
  求函数f(x)的不定积分,就是要求出f(x)的所有的原函数,由原函数的性质可知,只要求出函数f(x)的一个原函数,再加上任意的常数C,就得到函数f(x)的不定积分。
  也可以表述成,积分是微分的逆运算,即知道了导函数,求原函数.
积分是微分的逆运算,即知道了函数的导函数,反求原函数。在应用上,积分作用不仅如此,它被大量应用于求和,通俗的说是求曲边三角形的面积,这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。
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