Question

什么是导数？积分？微分？

Answer 1

导数定义为：当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。
　　导数另一个定义：当x=x0时，f‘(x0)是一个确定的数。这样，当x变化时，f'(x)便是x的一个函数，我们称他为f(x)的导函数（derivative
function）（简称导数）。
　　y=f(x)的导数有时也记作y'，即
f'(x)=y'=lim⊿x→0[f(x+⊿x)-f(x)]/⊿x
微分　　
一元微分
　　
定义：
　　
　　设函数y
=
f(x)在x.的邻域内有定义，x0及x0
+
Δx在此区间内。如果函数的增量Δy
=
f(x0
+
Δx)
−
f(x0)可表示为
Δy
=
AΔx
+
o(Δx)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx0)是比Δx高阶的无穷小，那么称函数f(x)在点x0是可微的，且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy
=
AΔx。
　　通常把自变量x的增量
Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx
=
Δx。于是函数y
=
f(x)的微分又可记作dy
=
f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。
　　当自变量X改变为X+△X时，相应地函数值由f(X)改变为f(X+△X)，如果存在一个与△X无关的常数A，使f(X+△X)-f(X)和A·△X之差关于△X→0是高阶无穷小量，则称A·△X是f(X)在X的微分，记为dy，并称f(X)在X可微。可导不一定可微，可微一定可导，这时A=f′(X)。再记A·△X=dy，则dy=f′(X)dX。例如：d(sinX)=cosXdX。
　　
几何意义：
　　设Δx是曲线y
=
f(x)上的点M的在横坐标上的增量，Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量，dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时，|Δy－dy|比|Δy|要小得多(高阶无穷小)，因此在点M附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。
　　
多元微分
　　同理，当自变量为多个时，可得出多元微分得定义。
不定积分　　设F(x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C（C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分。
　　记作∫f(x)dx。
　　其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。
　　由定义可知：
　　求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C，就得到函数f(x)的不定积分。
　　也可以表述成,积分是微分的逆运算,即知道了导函数,求原函数.
积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。在应用上，积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。