Question

线性代数 求下列矩阵的秩

Answer 1

很明显，矩阵的秩等于1。
因为尽管这两个向量相乘得一个三阶矩阵，但我们并没有必要把它的乘积算出来。
因为两个矩阵的乘积的秩不超过每一个因子的秩，所以这两个向量的乘积的秩不超过每一个向量的秩，而两个向量都是非零向量，其秩都是1，又他们的乘积也不为0，所以乘积的秩不等于0，故只能等于1。

Answer 2

通过初等行变换（就是一行的多少倍加的另一行，或行交换，或者某一行乘以一个非零倍数）把矩阵化成行阶梯型（行阶梯形就是任一行从左数第一个非零数的列序数都比上一行的大，形象的说就是形成一个阶梯，）。这样数一下非零行（零行就是全是零的行，非零行就是不全为零的行）的个数就是秩。
例如：
1
2
3
4
1
3
4
5
2
4
5
6
第一行乘以负一加的第二行得
1
2
3
4
0
1
1
1
2
4
5
6
再把第一行乘负二加到第三行得
1
2
3
4
0
1
1
1
0
0
-1
-2
现在就满足行阶梯形了因为非零行有3行
所以秩为3