Question

证明：G(x)^2|F(x)^2，当且仅当G(x)|F(x)

Answer 1

充分性易证.下边证必要性,若g(x)^2|f(x)^2,那么g(x)|f(x).若f(x)=g(x)=0,则有g(x)▏f(x).如果f(x),g(x)不全为0,令d(x)=(f(x),g(x)).则f(x)=d(x)f1(x),g(x)=d(x)g1(x),且（f1(x),g1(x))=1.那么,f²(x)=d²(x)f²1(x),g²(x)=d²(x)g²1(x),故由g&供互垛就艹脚讹协番茅#178;(x)▏f²(x),可得g²1(x)▏f²1(x),故g1(x)▏f²1(x),又（g1(x),f1(x))=1,根据互素多项式的性质知,g1(x)▏f1(x),从而g1(x)=c(非零常数）.于是g(x)=cd(x),g(x)▏f(x)

Answer 2

充分性易证.下边证必要性，若G(x)^2|F(x)^2，那么G(x)|F(x).若f(x)=g(x)=0,则有g(x)▏f(x).如果F(X),G(X)不全为0，令d(x)=(f(x),g(x)).则f(X)=d(x)f1(x),g(x)=d(x)g1(x),且（f1(x),g1(x))=1.那么，f²(x)=d²(x)f²1(x),g²(x)=d²(x)g²1(x),故由G²(x)▏F²(x),可得g²1(x)▏f²1(x),故g1(x)▏f²1(x),又（g1(x),f1(x))=1,根据互素多项式的性质知，g1(x)▏f1(x),从而g1(x)=c(非零常数）.于是g(x)=cd(x),g(x)▏f(x)