Question

设已知函数f(x)=|x-a|+3x，其中a>0。（1）当a=1时，求不等式f(x)>=3x+2的

设已知函数f(x)=|x-a|+3x，其中a>0。（1）当a=1时，求不等式f(x)>=3x+2的解集

（2）若不等式f(x)<=0的解集为{x|x<=-1},求a的值。（3）若f(x)>=3x-|x-3|+5恒成立，求a的取值范围

Answer 1

(1) f(x)=|x-1|+3x>=3x+2 ==>|x-1|>=2
==>x-1<=-2 或 x-1>=2 ==》 x<=-1 或 x>=3
(2) f(x)=|x-a|+3x<=0
若 x<=0 ==> a-x+3x<=0（a>0） 即a+2x<=0 ==>x<=a/2
若 x>0 ==> |x-a|+3x<=0 显然 f(x)>0 矛盾

所以 a=-2

(3) f(x)>=3x-|x-3|+5 恒成立 ==》f(x)-3x+|x-3|-5>=0 即 |x-a|+|x-3|-5>=0
若 x<=0 a-x+3-x-5>=0 ==>2x<=a-2 x<=(a-2)/2 ==>(a-2)/2>=0 ==>a>=2

则 x就相当于数轴上一点，两定点A(a,0)，B3,0），点x到两定点距离和要大于等于5
所以最短就是当x在点之间时 即为|AB| ==> |3-a|>=5
==>3-a<=-5 3-a>=5 ==>a>=8 或 a<=-2
综合知 a>=8