Question

求幂级数∑(n=1,∞) nx^(n-1)的和函数.

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

用柯西判别法可以判断收敛半径为1，另外在1处显然发散，在-1处为莱布尼茨型级数显然收敛，所以收敛域为[-1，1），令s=∑(∞,n＝1)1/nx∧n，则s
′=∑(∞,n＝1)x∧(n-1)=1/(1-x)
所以s=∫1/(1-x)dx=-ln(1-x)+c，由s(0)=0可知c=0，
所以s=-ln(1-x)（端点-1处的值利用幂级数的连续性可知也满足这个式子）