Question

在线等。高中三角函数题。

已知在三角形abc中，A、B、C为三个内角，a、b、c分别为对应的三条边，π/3<C<π/2，且b/a-b=sin2C/sinA-sin2C.
(1)判断三角形ABC的形状.
(2)若丨向量BA+向量BC丨=2 求向量BA与向量BC的数量积的取值范围.

Answer 1

第一题
b/(a-b)=sin2C/(sinA-sin2C)
(a-b)/b=(sinA-sin2C)/sin2c
a/b-1=sinA/sin2C-1
a/b=sinA/sin2c,a/sinA=b/sin2C
正弦定理：a/sinA=b/sinB
∴b/sin2C=b/sinB
∴sin2C=sinB,
∵π/3<C<π/2,∴2π/3<2C<π
所以根据sin2C=sinB有两种可能2C=B或者B=π-2C
如果B=2C，则2π/3<B<π，得π<B+C<3π/2，与三角形内角和是180度矛盾！
所以B=π-2C，B<π/3,很明显A也只能是锐角，
因此三角形只能是锐角三角形
又B=π-2C,得A+B=π-C=B+C,
所以A=C，三角形是等腰三角形
因此三角形只能是等腰锐角三角形

第二题
A=C，三角形是等腰三角形，B是顶角，|BA+BC|=2
AC边上的高BH，|BH|=1，cosB/2=|BH|/|BA|=1/|BA|,
cosB=2(cosB/2)^2-1=2/BA^2-1,
BA·BC
=|BA|*|BC|cosB
=BA^2*(2/BA^2-1)=2-c^2
所以向量数量积BA·BC的取值范围(0,2)