高等数学同济版 16页例题疑问设函数f(x)的定义域为(-l,l),证明必存在(...
高等数学同济版16页例题疑问设函数f(x)的定义域为(-l,l),证明必存在(-l,l)上的偶函数及奇函数h(x),使得f(x)=g(x)+h(x).书上证明过程:假若g...
高等数学同济版 16页例题疑问 设函数f(x)的定义域为(-l,l),证明必存在(-l,l)上的偶函数及奇函数h(x),使得f(x)=g(x)+h(x). 书上证明过程:假若g(x)、h(x)存在,使得f(x)=g(x)+h(x),(1), 且g(-x)=g(x),h(-x)=-h(x) 于是有f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)-h(x),(2) 利用(1)、(2)式,可以做出g(x)和h(x),这个启发我们做如下证明: g(x)=[f(x)+f(-x)]/2 h(x)=[f(x)-f(-x)]/2 则 g(x)+h(x)=f(x), g(-x)=[f(-x)+f(x)]/2=g(x), h(-x)=[f(-x)-f(x)]/2=h(x). 证毕. 以上是书上的原文. 我的问题“则”字后面的结论是否是用g(x)=[f(x)+f(-x)]/2与h(x)=[f(x)-f(-x)]/2相加得出?而g(x)=[f(x)+f(-x)]/2由式子(1)+式子(2)得到,h(x)=[f(x)-f(-x)]/2由式子(1)-式子(2)得到,那岂不是“则”字后面的结论是用(1)+(2)+(1)-(2)=(1)+(1)得出?相当于在假设基础上乘以2,就得出结论了.真心看不懂!
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1个回答
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第五行“利用(1)、(2)式,可以做出.做如下证明”以前都是思维过程,是告诉你下面
的证明方式是怎么想出来的,如果懂了,就可以不用管它了.真正的证明是下面的文字:
设g(x)=[f(x)+f(-x)]/2.①
h(x)=[f(x)-f(-x)]/2.②
①+②即得
g(x)+h(x)=f(x);
其中:
g(-x)=[f(-x)+f(x)]/2=g(x),故g(x)是偶函数;
h(-x)=[f(-x)-f(x)]/2=-h(x),故h(x)是奇函数.
的证明方式是怎么想出来的,如果懂了,就可以不用管它了.真正的证明是下面的文字:
设g(x)=[f(x)+f(-x)]/2.①
h(x)=[f(x)-f(-x)]/2.②
①+②即得
g(x)+h(x)=f(x);
其中:
g(-x)=[f(-x)+f(x)]/2=g(x),故g(x)是偶函数;
h(-x)=[f(-x)-f(x)]/2=-h(x),故h(x)是奇函数.
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