Question

求几道关于圆锥曲线中的最值问题，给出题目和解答过程。

Answer 1

1．点P是椭圆x^2/25+y^2/16=1上一点,求P到点A(m,0)距离的最小值
设P(x,y)
则x²/25+y²/16=1
故y²=16(1-x²/25)
故|PA|²=(x-m)²+(y-0)²
=x²-2mx+m²+16-16x²/25
=9x²/25-2mx+m²+16
二次函数，对称轴x=25m/9
易知x范围是[-5,5]
故分三种情况讨论：
1）25m/9<-5,即m<-9/5
当x=-5时，|PA|²有最小值，为(m+5)²
故|PA|最小值为|m+5|
2）当-5≤25m/9≤5，即-9/5≤m≤9/5时
当x=25m/9时，|PA|²有最小值，为16/9(9-m²)
故|PA|最小值为4√(9-m²)/3
3）25m/9>5,即m>9/5
当x=5时，|PA|²有最小值，为(m-5)²
故|PA|最小值为|m-5|
综上：
当m<-9/5时，|PA|最小值为|m+5|
当-9/5≤m≤9/5时，|PA|最小值为4√(9-m²)/3
当m>9/5时，|PA|最小值为|m-5|
2．已知椭圆中心为O，长轴、短轴分别为2a，2b（a>b>0)，A,B分别为椭圆上的两点，且OA⊥OB。
求△AOB面积的最大值和最小值。
设OA长为r1,OB长为r2,OA角为??,则A,B的坐标分别为(r1cos??,r1sin??),(-r2sin??,r2cos??).分别代入椭圆方程,两式相加得:1/(r1)^2+1/(r2)^2=1/a^2+1/b^2
为定值
.欲求AOB的面积的极值,就是使r1*r2取最值,即使1/r1r2取最
值,考虑到取值范围
由均值不等式知:最大面积为ab/2,当r1=a,r2=b时取得;
最小为(ab)^2/(a^2+b^2),
当r1=r2时取得
3．已知定点A(0,1)
B(0,-1)
C(1,0),动点P满足"向量AP*向量BP=k*向量CP绝对值的平方",
(1)求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线。
（2）当k=2时，求“'2*向量AP+向量BP'和的绝对值”的最大值和最小值
P(x,y)
AP:(x,y-1)
BP=(x,y+1)
CP=(x-1,y)
AP*BP=x^2+y^2-1
CP*CP=x^2-2x+1+y^2
向量AP*向量BP=k*向量CP绝对值的平方
x^2+y^2-1=k(x^2-2x+1+y^2)
(1-k)x^2+(1-k)y^2+2kx-k-1=0
圆么`
k=2
-x^2-y^2+4x-3=0
2*向量AP+向量BP=(3x,3y-1)
AP:(x,y-1)
BP=(x,y+1)
长度=根号下
(9x^2+9y^2-y+1)
=根号下(36x-y+26)
Z=36x-y+26
x,y在-x^2-y^2+4x-3=0上
那y=36x+26-z
只要是圆的切线就可以求最大最小值