Question

已知二次函数f（x）满足f（x+1）+f（x-1）=2x^2-4x，试求f（x）的解析式

Answer 1

已知函数结构，用待定系数法。设f（x)=ax^2+bx+c,
∵f（x+1）+f（x-1）=2x^2-4x,
∴a(x+1)^2+b(x+1)+c+a(x-1)^2+b(x-1)+c=2x^2-4x,
即2ax^2+2bx+2a+2c=2x^2-4x=2x^2-4x,
比较系数得2a=2,2b=-4,2a+2c=0,
∴a=1,b=-2,c=-1,
则f(x)=x^2-2x-1,

Answer 2

已值函数是二次函数，可设为f（x)=ax^2+bx+c,
∵f（x+1）+f（x-1）=2x^2-4x,
∴a(x+1)^2+b(x+1)+c+a(x-1)^2+b(x-1)+c=2x^2-4x,
即2ax^2+2bx+2a+2c=2x^2-4x=2x^2-4x,
前后函数相等，所以系数相等，即2a=2,2b=-4,2a+2c=0,
∴a=1,b=-2,c=-1,
即f(x)=x^2-2x-1,