Question

函数y=log2(x)+logx(2x)的值域是

函数y=log2(x)+logx(2x)的值域是
y=log2(x)+logx(2x)=log2(x)+logx(2)+logx(x)=log2(x)+logx(2)+1
log2(x)与logx(2)互为倒数，故值域为(－∞,-1]∪[3,+∞)
解释一下那个(－∞,-1]是怎么来的

Answer 1

若log2(x)<0
则logx(2)<0
令a=-log2(x)
则a>0
且y=-a-1/a+1
=-(a+1/a)+1
a>0,a+1/a>=2
-a-1/a<=-2
所以y<=-2+1=-1

Answer 2

1.
log2(x)>0 时 logx(2)>0
根据 均值不等式
log2(x)+logx(2)≥2
2.
log2(x)<0 时 logx(2)<0
根据 均值不等式
log2(x)+logx(2)=-[(-log2(x))+(-logx(2))]≤-2

所以 值域为(－∞,-1]∪[3,+∞)