Question

如图，正方形ABCD中，E，F分别为AD，DC的中点，BF，CE相交于点M，求证：AM=AB

如图，正方形ABCD中，E，F分别为AD，DC的中点，BF，CE相交于点M， 求证：AM=AB．

Answer 1

证明：分别延长BA，CE交于N点，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=AB=CD，∠D=∠BCF=90°，AB∥CD，
∵E是AD中点，F是CD中点，
∴DE=CF，
在△BCF和△CDE中，
CF＝DE∠BCF＝∠DBC＝CD，
∴△BCF≌△CDE（SAS），
∴∠CBF=∠DCE，
∴∠CBF+∠BCM=∠DCE+∠BCM=90°，
∵E是AD的中点，AN∥CD，
∴AE=DE，∠N=∠ECD，∠NAE=∠CDE，
在△ANE和△DCE中，
∠N＝∠ECD∠NAE＝∠CDEAE＝DE，
∴△ANE≌△DCE（AAS），
∴AN=CD，
∴AN=AB，
在Rt△BMN中，AM=12BN，
∴AM=AB．