Question

已知方向向量为v=(1，3)的直线l过点(0，-23)和椭圆C：x2a2+y2b...

已知方向向量为v=(1，3)的直线l过点(0，-23)和椭圆C：x2a2+y2b2=1 (a＞b＞0)的右焦点，且椭圆的离心率为63． （1）求椭圆C的方程： （2）若已知点M，N是椭圆C上不重合的两点，点D（3，0）满足DM=λDN，求实数λ的取值范围．

Answer 1

解：（1）因为直线l的方向向量为v=(1，3)所以直线斜率为k=3，
又因为直线过点(0，-23)
所以直线方程为y+23=3x
因为a＞b，所以椭圆的右焦点为直线与轴的交点，∴椭圆的右焦点为（2，0），所以c=2
∵e=ca=63，∴a=6，∴b2=a2-c2=2
∴椭圆方程为x26+y22=1
（2）由已知设直线MN的方程为x=my+3，
由x26+y22=1x=my+3⇒（m2+3）y2+6my+3=0，设M．N坐标分别为（x1，y1）（x2，y2）
则y1+y2=-6mm2+3
①y1y2=3m2+3
②
△=36m2-12（m2+3）＞0⇒m2＞32
∵DM=（x1-3，y1），DN=（x2-3，y2），DM=λDN，显然λ＞0且λ≠1
∴（x1-3，y1）=λ（x2-3，y2）∴y1=λy2，
代入①②得
λ+1λ=12m2m2+3-2=10-36m2+3，
∵m2＞32⇒2＜λ+1λ＜10⇒λ2-2λ+1＞0λ2-10λ+1＜0
解得5-26＜λ＜5+26且λ≠1