Question

已知函数f（x）=|x2-1|+x2+ax，若函数f（x）在区间（0，2）上有两...

已知函数f（x）=|x2-1|+x2+ax，若函数f（x）在区间（0，2）上有两个不同的零点x1，x2，求1x1+1x2的取值范围．

Answer 1

解：∵x1，x2是函数f（x）的两个零点，不妨设x1＜x2，
f（x）=|x2-1|+x2+ax=1+ax，0＜x≤12x2+ax-1，1＜x＜2，
①若1＜x1＜x2＜2，即在（0，1）上没有零点，
要使f（x）在（0，1）上没有零点，则须1+a＞0，即a＞-1，
这时，函数f（x）在（1，2）上也没有零点；
所以函数f（x）两个零点不可能都在（1，2）上；
②在（0，1）是一次函数，函数f（x）不可能有两个零点．
所必有0＜x1＜1，1＜x2＜2，
所以1+ax1=0，2x22+ax2-1=0
由以上两式消去a得，2x22-x2x1-1=0
变形得：1x1+1x2=2x2
∵1＜x2＜2，
∴2＜2x2＜4，
∴1x1+1x2的取值范围是（2，4）．