Question

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=-x2+ax．...

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=-x2+ax． （1）当a=-2时，求函数f（x）的解析式； （2）若函数f（x）为单调递减函数； ①直接写出a的范围（不必证明）； ②若对任意实数m，f（m-1）+f（m2+t）＜0恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

解：（1）当x＜0时，-x＞0，又因为f（x）为奇函数，
所以f（x）=-f（-x）=-（-x2+2x）=x2-2x，
所以f（x）={-x2-2x，x≥0x2-2x，x＜0．
（2）①当a≤0时，对称轴x=a2≤0，所以f（x）=-x2+ax在[0，+∞）上单调递减，
由于奇函数关于原点对称的区间上单调性相同，所以f（x）在（-∞，0）上单调递减，
所以a≤0时，f（x）在R上为单调递减函数，
当a＞0时，f（x）在（0，a2）递增，在（a2，+∞）上递减，不合题意，
所以函数f（x）为单调减函数时，a的范围为a≤0．
②f（m-1）+f（m2+t）＜0，∴f（m-1）＜-f（m2+t），
又f（x）是奇函数，∴f（m-1）＜f（-t-m2），
又因为f（x）为R上的单调递减函数，所以m-1＞-t-m2恒成立，
所以t＞-m2-m+1=-(m+12)2+54恒成立，所以t＞54．
即实数t的范围为：（54，+∞）．