Question

在数列{an}中，a1=1，an+1=an2an+1(1)求{an}的通项公式....

在数列{an}中，a1=1，an+1=an2an+1 (1)求{an}的通项公式. (2)若数列{bn}满足a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=n3，求数列{bn}的通项公式.

Answer 1

解答:解:(1)因为a1=1，an+1=
an
2an+1
所以
1
an+1
=
1+2an
an
=
1
an
+2
从而
1
an+1
-
1
an
=2，所以数列{
1
an
}是以1为首项，2为公差的等差数列
所以
1
an
=1+2(n-1)=2n-1，从而an=
1
2n-1
(2)由题知a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=
n
3
所以a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1=
n-1
3
(n≥2)
当n≥2时，两式相减可得:anbn=
n
3
-
n-1
3
=
1
3
，将an=
1
2n-1
代入得bn=
2n-1
3
又b1=
1
3
适合上式，所以bn=
2n-1
3