Question

初三二次函数的应用题。20分，速度。用长度为20m的金属材料制成如图所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰

用长度为20m的金属材料制成如图所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其斜边长为2x m．当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？请求出金属框围成的图形的最大面积．

Answer 1

解：根据题意可得，等腰直角三角形边长为√2xm，矩形的一边长为2xm，

其相邻边长为:[20-(4+2√2)x]/2=10-(2+√2)x，

∴该金属框围成的面积

S=2x[10-(2+√2)x]+1/2*√2x*√2x 

=-(3+2√2)x^2 +20x

=-(√2+1)^2*x^2 +20x

=-(√2+1)^2*x^2 +2*(√2+1)*(√2-1)*10x-[(√2-1)*10]^2+[(√2-1)*10]^2

=-[(√2+1)*x-(√2-1)*10]^2+[(√2-1)*10]^2

=-[(√2+1)*x-10(√2-1)]^2+[10(√2-1)]^2（0<x<10-5√2 ）

当x=10(√2-1)/(√2+1)=30-20√2 时，金属围成的面积最大，

此时矩形的一边长2x=60-40√2 （m），

相邻边长为10-（2+√2)*(3-2√2)=10√2-10 （m），

S最大=100(3-2√2)=300-200√2

Answer 2

解：根据题意可得，等腰直角三角形边长为√2xm，矩形的一边长为2xm，
其相邻边长为:[20-(4+2√2)x]/2=10-(2+√2)x，
∴该金属框围成的面积
S=2x[10-(2+√2)x]+1/2*√2x*√2x
=-(3+2√2)x^2 +20x
=-(√2+1)^2*x^2 +20x
=-(√2+1)^2*x^2 +2*(√2+1)*(√2-1)*10x-[(√2-1)*10]^2+[(√2-1)*10]^2
=-[(√2+1)*x-(√2-1)*10]^2+[(√2-1)*10]^2
=-[(√2+1)*x-10(√2-1)]^2+[10(√2-1)]^2（0<x<10-5√2 ）

当x=10(√2-1)/(√2+1)=30-20√2 时，金属围成的面积最大，
此时矩形的一边长2x=60-40√2 （m），
相邻边长为10-（2+√2)*(3-2√2)=10√2-10 （m），
S最大=100(3-2√2)=300-200√2

Answer 3

分析：等腰直角三角形，其斜边长为2xm。两个直角边长为√2xm。
矩形的宽为（20-2x-2√2x）÷2=10-x-√2x(m),直角三角形的高是xm。
整个图形的面积S=S长+S△
=2x×（10-x-√2x)+1/2×2x×x
=-(2√2+1)x²+20x
=-(2√2+1)[x-10(2√2-1）/7]²+100(2√2-1）/7
所以：当X=10(2√2-1）/7时，面积最大100(2√2-1）/7（m²）。
（1）矩形的长=2×10(2√2-1）/7=20(√2-1）/7（m)
（2）矩形的宽=20-2×10(2√2-1）/7-√2×10(2√2-1）/7
=（120-30√2）/7（m);
（3）金属框围成的图形的最大面积是：100(2√2-1）/7（m²）。

Answer 4

解：根据题意可得，等腰直角三角形边长为√2xm，矩形的一边长为2xm，
其相邻边长为:[20-(4+2√2)x]/2=10-(2+√2)x，
∴该金属框围成的面积
S=2x[10-(2+√2)x]+1/2*√2x*√2x
=-(3+2√2)x^2 +20x
=-(√2+1)^2*x^2 +20x
=-(√2+1)^2*x^2 +2*(√2+1)*(√2-1)*10x-[(√2-1)*10]^2+[(√2-1)*10]^2
=-[(√2+1)*x-(√2-1)*10]^2+[(√2-1)*10]^2
=-[(√2+1)*x-10(√2-1)]^2+[10(√2-1)]^2（0<x<10-5√2 ）
当x=10(√2-1)/(√2+1)=30-20√2 时，金属围成的面积最大，
此时矩形的一边长2x=60-40√2 （m），
相邻边长为10-（2+√2)*(3-2√2)=10√2-10 （m），
S最大=100(3-2√2)=300-200√2

Answer 5

解：根据题意可得，等腰直角三角形直角边长为
2
xm，矩形的一边长为2xm，
其相邻边长为
20-(4+22)x
2
=10-(2+
2
)x，
∴该金属框围成的面积S=2x[10-(2+
2
)x]+
1
2
×
2
x•
2
x=-(3+2
2
)x2+20x（0＜x＜10-5
2
）
当x=-
b
2a
=
10
3+22
=30-20
2
时，金属围成的面积最大，
此时斜边长2x=60-40
2
（m），
相邻边长为10-（2+
2
）•10(3-2
2
)=10
2
-10（m），
S最大=100(3-2
2
)=300-200
2 (m2)．