Question

已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c在x=-2/3与x=1处都区得极值

（1）求a、b值与f(x)单调区间 （2）若对x∈[-1,2]不等式f（x）＜x^2恒成立 求c范围 过程啊~~

Answer 1

(1)
f(x)=x^3+ax^2+bx+c
f'=3x^2+2ax+b=0
x1=-2/3
和
x2=1
是方程的根
x1+x2=-2a/3=1/3
a=-1/2
x1*x2=b/3=-2/3
b=-2
f'=3x^2-x-2=(3x+2)(x-1)
x>=1
或者
x<=-3/2
为单调增
-3/2<=x<=1为单调减
(2)
若对x∈[-1,2]不等式f（x）＜x^2
x^3+ax^2+bx+c<x^2
x^3-x^2/2-2x+c<x^2
c<3x^2/2+2x-x^3
令g（x)=3x^2/2+2x-x^3
转化为最值问题，因此只要求g的最小值就可以了
对g求导
g'=3x+2-3x^2=-(3x^2-3x-2)=0
x1=3+根号33/6
<
2
x2=3-根号33/6
>-1
当
x2<x<x1为增函数
当
x1<x
或者
x<x2为减函数
故g的最小值为g（x2)
g(x2)=
-0.51
所以
c<(x2)=
-0.51
题目是否有误？计算量很大