Question

已知二次函数的图像与x轴交于A(-1,0),B(3,0),与Y轴交与c点,顶点P...

已知二次函数的图像与x轴交于A(-1,0),B(3,0),与Y轴交与c点,顶点P到x轴的距离为4,求： （1）这个二次函数解析式 （2）三角形ABC的面积

Answer 1

（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x+1）,
∵抛物线经过点C（0,3）,
∴3=a×3×1,解得a=1．
∴抛物线的解析式为：y=（x+3）（x+1）=x2+4x+3．
（2）证明：在抛物线解析式y=x2+4x+3中,当x=-4时,y=3,∴P（-4,3）．
∵P（-4,3）,C（0,3）,
∴PC=4,PC∥x轴．
∵一次函数y=kx-4k（k≠0）的图象交x轴于点Q,当y=0时,x=4,
∴Q（4,0）,OQ=4．
∴PC=OQ,又∵PC∥x轴,
∴四边形POQC是平行四边形,
∴∠OPC=∠AQC．
设PQ与OC交于点E,由（2）可知,四边形POQC是平行四边形,
∴OE=CE．
∵点E到CQ的距离小于CE,
∴点E到CQ的距离小于OE,而OE⊥x轴,
∴PQ不是∠AQC的平分线,这与假设矛盾．
∴直线PQ不能垂直平分线段MN．
解析：
分析：（1）利用交点式求出抛物线的解析式；
（2）证明四边形POQC是平行四边形,则结论得证；
（3）①求出△AMN面积的表达式,利用二次函数的性质,求出△AMN面积最大时t的值．注意：由于自变量取值范围的限制,二次函数并不是在对称轴处取得最大值；
②由于直线PQ上的点到∠AQC两边的距离不相等,则直线PQ不能平分∠AQC,所以直线PQ不能垂直平分线段MN．
点评：本题是二次函数综合题型,考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、相似三角形、平行四边形、角平分线的性质、二次函数的最值等知识点．试题难度不大,需要注意的是（3）①问中,需要注意在自变量取值区间上求最大值,而不能机械地套用公式．
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