Question

数学几何动点问题

在直角梯形ABCD中，AD平行于BC，∠B=90°，AD=4cm，AB=6cm，DC=10cm，若动点p从A出发，以每秒1cm的速度沿线段AD向点D运动；动点Q从C点出发以每秒3cm的速度沿CB向B点运动，当P点到达D点是，动点P,Q同时停止运动，设点P,Q同时出发，运动了t秒，是否存在t，使得直线PQ将梯形ABCD的面积分为1：2的两部分？若有，求t，若无，说明理由。

Answer 1

解：设t存在，则
因为AD=4cm，所以P从A移动到D点共用时4s，所以t=4s。
做D点到BC的垂线，交BC于E点。
因为AD平行于BC，∠B=90°，所以DE=AB=6cm，BE=AD=4cm，BC=BE+EC=12cm。所以EC²=CD²-DE²，EC=8cm。
因为动点P,Q同时停止运动，P,Q同时出发，所以Q也运动了4s。
Q点的速度是3cm每秒。所以4s时间Q点共运动了12cm，也就是说Q点运动到了B点，连接BD。
梯形ABCD的面积为：（AD+BC）*AB/2=48cm²
三角形DBC的面积为：BC*DE/2=36cm²
因为三角形DBC的面积36cm²不等于1/2梯形ABCD的面积24cm²,所以t不存在。