Question

lim（x趋向于0）（√（1+f（x）/x）-1）/x³=3求lim（x趋向于0）f（x）/x∧4？

Answer 1

分享一种解法。由题设条件，必有x→0时，f(x)/x→0【否则，极限不存在】。∴分子有理化，有√[1+f(x)/x]-1=[f(x)/x]/{√[1+f(x)/x]+1}~(1/2)f(x)/x。
∴3=lim(x→0)[√[1+f(x)/x]-1]/x³=lim(x→0)[(1/2)f(x)/x]/x³=(1/2)lim(x→0)f(x)/x^4，
∴lim(x→0)f(x)/x^4=2*3=6。
供参考。

Answer 2

∵ lim（x趋向于0）（√（1+f（x）/x）-1）/x³=3
∴ lim（x趋向于0）（√（1+f（x）/x）-1）=3x³

∴ lim（x趋向于0）（√（1+f（x）/x）=1+3x³

∴ lim（x趋向于0）（（1+f（x）/x）=(1+3x³)²

∴ lim（x趋向于0）（1+f（x））=x(1+3x³)²

∴ lim（x趋向于0）f（x）=x(1+3x³)²-1=-1

∴ lim（x趋向于0）f（x）/x∧4=-∞