Question

设{an}是任意等比数列,它的前n项和,前2n项和与前3n项和分别为X,Y,Z，则下列等式中恒成立的是

A，X+Z=2Y B.Y(Y-X)=Z(Z-X) C.Y^2=XZ D.Y(Y-X)=X(Z-X)

Answer 1

Sn=a1+…+an
S2n=a1+…an+…+a2n
S3n=a1+…an+…+a2n+…a3n
把Sn的各项同乘以q^n
q^n*Sn=q^n*a1+…q^n*an=a（n+1）+…+a2n
同理q^2n*Sn=a(2n+1)+…+a（3n）
∴ S2n-Sn
=a（n+1）+…+a2n
=q^n*Sn
=Y-X
那么Y(Y-X)=q^n*Sn*S2n=q^n*Sn*（Sn+Sn*q^n）=Sn^2*q^n*(1+q^n)
S3n-Sn=（S3n-S2n）+（S2n-Sn）
=【a(2n+1)+…+a（3n）】+【a（n+1）+…+a2n】
=q^2n*Sn+q^n*Sn
=Sn*q^n*(1+q^n)
=Z-X
那么
X(Z-X)=Sn*Sn*q^n*(1+q^n)=Sn^2*q^n*(1+q^n)

所以D入选