Question

一个函数列一致收敛的证明，大神都快来解决啊！

设连续函数列{fn(x)}在[a,b]上一致收敛于f(x)，而g(x)在（-∞，+∞）上连续。证明：{g(fn(x))}在[a,b]上一致收敛于g(f(x))

Answer 1

首先每个f_n(x)都有界，设其值域为[c_n,d_n]，那么{f_n(x)}一致有界，即存在M>0使得-M
<
inf
c_n
<=
sup
d_n
<
M
然后在[-M,M]上g(x)一致连续，然后完全利用一致连续和一致收敛的定义证明结论就行了，没有任何难度。