Question

已知:数列{An}前n项的和为Sn,且A1^3+A2^3+A3^3+.......+An^3=Sn^2

已知:数列{An}前n项的和为Sn,且A1^3+A2^3+A3^3+.......+An^3=Sn^2
求证:1/A1^2+根号2/A2^2+根号3/A3^2+.......+根号n/An^2<3

Answer 1

给题目加个条件吧，要不然没办法做的，结论就有问题了:An均大于0(反例:A(2k)=-1,A(2k+1)=1显然满足题目条件，但是求证的式子呢？我们取n>=9，显然不满足啊)
一、求通项：
A1^3+A2^3+A3^3+.......+An^3=Sn^2
A1^3+A2^3+A3^3+.......+A(n+1)^3=S(n+1)^2
两式相减，得
A(n+1)^3=(S(n+1)-Sn)(S(n+1)+Sn)
=A(n+1)(2S(n+1)-A(n+1)),所以A(n+1)^2+A(n+1)=2S(n+1),An^2+An=2Sn
两式相减，得A(n+1)*(A(n+1)-1)=(An+1)*An,
(A(n+1)+An)(A(n+1)-An-1)=0
因为An为正，所以有A(n+1)=An+1
又A1^3=S1^3=A1^2,所以A1=1
所以得An通项为An=n。
二、证明题目
左边=1/1+1/(根号2)^3+...+1/(根号n)^3
采用放缩法，考虑1/2(根号n)^3与1/根号(n-1)-1/根号n的关系
1/根号(n-1)-1/根号n=(根号n-根号(n-1))/(根号n*根号(n-1))
=1/[根号n*根号(n-1)*(根号n+根号(n-1))]>=1/2(根号n)^3
所以左边<[-1/根号n+1/根号(n-1)-1/根号(n-1)+1/根号(n-2)-...-1/根号3+1/根号2]*2 +1
=(1/根号2-1/根号n)*2 +1<根号2 +1<3
得证。
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回复楼上：这个隐含条件是没办法推出的，具体原因我已经举出了反例，不用多说了吧？根号其实加不加都一样，这题并不算很难的。

Answer 2

逐项递推，得到单项数值，然后再计算，明天给出解算过程...睡觉啊...困...
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嗯，楼下的文字太多，看不懂...建议使用 √ 代替“根号” 重新列出。另外，证明 An=n 可以从 An＝0,1 入手...这样就可以推导出 An>0 隐含条件。

Answer 3

哈哈，大家的动作真快啊！！