Question

急！！在线等下面这道二重积分怎样计算啊啊 ？？？

设D:x^2+y^2<=a^2 当a=______ ∫∫(√a^2-x^2-y^2)dxdy=π 积分区域为D 则a等于多少？？？

求详细解答过程！！！

谢谢！！！
最好能从二重积分的几何意义和简单的性质来做 其他的方法还没学过了！！！

Answer 1

由积分的几何意义，这个积分是半径为|a|的球的上半部分体积，有球的体积公式，
1/2*4/3π |a|^3=π
a=±(3/2)^(1/3)

Answer 2

化为极坐标：x = r*cosθ，y = r*sinθ（其中r <= a）

所以∫∫(√a^2-x^2-y^2)dxdy
= ∫∫(√a^2-r^2)rdrdθ（r从0积到a，θ从0积到2π）
= 2π * ∫(√a^2-r^2)rdr（r从0积到a）
（令r = a*cosα）
= 2π * ∫a*sinα*a*cosα d(a*cosα)（α从π/2积到0）
= -2π * a^3 * ∫(sinα)^2*cosα dα（α从π/2积到0）
= -2π * a^3 * ∫(sinα)^2 d(sinα)（α从π/2积到0）
= -2π/3 * a^3 * ∫d[(sinα)^3]（α从π/2积到0）
= -2π/3 * a^3 * (0 - 1)
= 2π/3 * a^3