Question

已知:正方形ABCD，M是AB边的中点，E是AB延长线上一点，连接MD，作MN垂直于DM，与角CBE平分线BN交于点N.

(1)求证：DM=MN
(2)若把上述条件中“M为AB的中点”改为“M为AB上任意一点”，那“MD=MN”还成立吗？为什么？

Answer 1

证明：
取AD中点F，连接MF
正方形ABCD中，M是AB中点
DF=AF=AM=BM
∠AFM=45°
即∠DFM=135
BN是∠CBE的角平分线
∠EBN=45°
即∠MBN=135°
所以∠DFM=∠MBN
MN垂直于MD
∠FDM+∠AMD=90°
∠BMN+∠AMD=90°
即∠FDM=∠BMN
又∠DFM=∠MBN,FD=BM
所以△DMF≌△MNB(角边角)
DM=MN
(2)成立
证明：
在AD上取AF=AM，连接MF
正方形ABCD中
AB=AD
AB-AM=AF-AD
即MB=DF
AM=AF，∠F=90°
则∠AFM=45°
即∠DFM=135
BN是∠CBE的角平分线
∠EBN=45°
即∠MBN=135°
所以∠DFM=∠MBN
MN垂直于MD
∠FDM+∠AMD=90°
∠BMN+∠AMD=90°
即∠FDM=∠BMN
又∠DFM=∠MBN,FD=BM
所以△DMF≌△MNB(角边角)
MD=MN