Question

如何理解微分的几何意义

如何理解微分的几何意义

Answer 1

如图y＝f（x）在x0处关于△x（＝dx）的微分dy的几何意义是“红色线段”。

[＝f'（x0）dx,也可以所成是x0处切线上的增量。]

Answer 2

几何上可以理解为光滑函数的一阶线性逼近吧。对一元光滑函数y=f(x)，在某点x_0附近用f'(x_0)dx来替换掉原函数的变化，即f(x)-f(x_0)；关键点在于，任给一个自变量的变化dx，只需要乘以一个数就可估计原函数的变化，同时线性的东西总是好处理的。对多元可微函数，f'(x_0)是这点的Jacobi矩阵，其余与一元情况类似；这时用到矩阵乘法。

值得注意的是，在处理积分时，由于高阶无穷小量并不会影响积分的值，所以用一阶线性逼近是合理的。

可以参考Rudin的《数学分析原理》