Question

幂级数的收敛半径？

Answer 1

根据达朗贝尔审敛法，收敛半径R满足：如果幂级数满足，则：
是正实数时，R=
；
= 0时，R=
；
=
时，R=0。
根据根值审敛法，则有柯西-阿达马公式。或者，复分析中的收敛半径将一个收敛半径是正数的幂级数的变量取为复数，就可以定义一个全纯函数。
收敛半径可以被如下定理刻画：
一个中心为 a的幂级数
的收敛半径 R等于 a与离 a最近的使得函数不能用幂级数方式定义的点的距离。到 a的距离严格小于 R的所有点组成的集合称为收敛圆盘。最近点的取法是在整个复平面中，而不仅仅是在实轴上，即使中心和系数都是实数时也是如此。例如：函数没有复根。它在零处的泰勒展开为：运用达朗贝尔审敛法可以得到它的收敛半径为1。与此相应的，函数
在 ±i存在奇点，其与原点0的距离是1。