Question

线性代数矩阵求解

关于合同： 1. 若n+1个n阶实对称阵A1,A2……An+1 都是可逆但都不是正定的，证明：存在i不等于j,使Ai和Aj 合同。 2.矩阵A 0 0 1 相似于对角阵，是否存在正交阵Q 使得 Q逆AQ 为对角阵？ 3 -1 a 4 0 3 关于向量组等价： 3 已知向量组 α... 关于合同： 1. 若n+1个n阶实对称阵A1,A2……An+1 都是可逆但都不是正定的，证明：存在i不等于j,使Ai和Aj 合同。 2.矩阵A 0 0 1 相似于对角阵，是否存在正交阵Q 使得 Q逆AQ 为对角阵？ 3 -1 a 4 0 3 关于向量组等价： 3 已知向量组 α1(0,1,a) α2(2,1,b) β1(1,0,1) 和β2(-1,1,1) β3(1,1,c)等价， （这些都是列向量，只是不好写……）求a,b,c 的值 求大神指导~~谢谢啦~ 展开

Answer 1

1.若A可逆且非正定,
则A的秩为n,
且负惯性指数在1到n之间
由已知可知,必有两个矩阵Ai,Aj的正负惯性指数相同
此时,
Ai与Aj合同.
2.
|A-λE|=(-1-λ)[-λ(3-λ)-4]=(-1-λ)(λ^2-3λ-4)=(1+λ)^2(4-λ)
A+E=
1
0
1
3
0
a
4
0
4
因为A可对角化,
r(A+E)=1,
所以
a=3.
(A+E)X=0
的基础解系为
a1=(0,1,0)^T,a2=(1,0,-1)^T
A-4E=
-4
0
1
3
-5
3
4
0
-1
r3+r1,
r2-2r1
-4
0
1
15
-5
0
0
0
0
r2*(-1/5)
-4
0
1
-3
1
0
0
0
0
(A-4E)X=0
的基础解系为
a3=(1,3,4)^T.
a3
与
a1,a2
不正交,
所以A不能正交对角化.
3.
这个题目才有意思.
由已知,
β1,β2,β3必线性相关
所以
|β1,β2,β3|=0
而
|β1,β2,β3|=c-3
所以
c
=
3.
(β1,β2,β3,α1,α2)
=
1
-1
1
0
2
0
1
1
1
1
1
1
3
a
b
r3-r1
1
-1
1
0
2
0
1
1
1
1
0
2
2
a
b-2
r3-2r2
1
-1
1
0
2
0
1
1
1
1
0
0
0
a-2
b-4
所以
a=2,
b=4.