Question

已知函数.若求的极值;已知有两个极值点,,且求的取值范围求证:时,求证

已知函数. 若求的极值; 已知有两个极值点,,且 求的取值范围 求证: 时,求证

Answer 1

时求出导数,在定义域内解不等式,,由导数符号即可求得其极值;
求导数,令,问题转化为方程有两个不同正根,从而有,解出即得的范围;
由知,为方程的两根,且结合韦达定理可知,,再由,得,令,利用导数可判断的单调性,由单调性得,整理后即得结论;
时求出,,则左边,令,利用倒序相加法可得,再运用基本不等式即可证明;
解:时,,,
当时,,当时,,当时,,
故,.
由计算过程不难计算出,
令,故只需有两个不同正根,即解得,
所以的范围为.
因此,为方程的两根,且结合韦达定理可知,
,再由,
所以,
令,易知,即单调递增,
所以,从而命题得证.
时,,所以,,
故左边,
令,
利用倒序相加法可得,
,
从而命题得证.
本题考查利用导数研究函数的极值,单调性,考查二次方程根的分布及二项式定理,考查学生综合运用知识解决问题的能力,解决问的关键是利用倒序相加法其.