Question

数学 勾股定理

(1)大家都知道3，4，5：5，12，13：8，15，17等都是勾股数组，有人说它们中好像一定有一个是偶数，你认为他的观点正确吗？说明你的理由。(2)除此之外，你还能发现勾股数具有哪些规律？

Answer 1

勾股数组　　(a,b,c)叫做勾股数组,当整数a,b,c满足a^2+b^2=c^2这个条件时.
　　容易看出，勾股数组源于勾股定理，是人们为了解出满足勾股定理的不定方程的所有整数解而创造的概念。
　　容易证明，（定理一）如果（a,b,c)是一勾股数组，则对于整数p,有（pa,pb,pc)是勾股数组，这叫做勾股数组的齐次性。
　　由定理一可以明确，我们比较关心的是a,b,c互质的勾股数组，这样的勾股数组叫作本原勾股数组，可以证明，本原勾股数组有无穷多个。
　　由a^2+b^2=c^2及a,b,c互质可知，a,b必是一奇一偶，c必是奇。不妨设a为奇，则方程化为b^2=(c+a)(c-a),由c,a互质可知，a-c和a+c互质，从而方程可以化为（b/2)^2=(c+a)/2*(c-a)/2,令(c+a)/2=m^2,(c-a)/2=n^2
(m,n互质），即可解出，
a=m^2-n^2,b=2mn,c=m^2+n^2（m,n互质，从而一奇一偶），此即本原勾股数组公式
　　常见勾股数组：
　　3
4
5
　　5
12
13
　　7
24
25
　　9
40
41
　　11
60
61
　　13
84
85
　　15
112
113
　　8，15，17
　　12，35，37
　　20，21，29
　　20，99，101
　　48，55，73
　　60，91，109
　　如果将勾股定理中的次方换成三及更高次的就会得到一个令人惊讶的结论，虽然在二次方时有无穷多组正整数解，但在高于二次方时却一组也没有，这即是所谓的费马大定理，为了证明这个定理，人类花了三百五十八年的时间。
　　下面是100以内的勾股数
　　i=3
j=4
k=5
　　i=5
j=12
k=13
　　i=6
j=8
k=10
　　i=7
j=24
k=25
　　i=8
j=15
k=17
　　i=9
j=12
k=15
　　i=9
j=40
k=41
　　i=10
j=24
k=26
　　i=11
j=60
k=61
　　i=12
j=16
k=20
　　i=12
j=35
k=37
　　i=13
j=84
k=85
　　i=14
j=48
k=50
　　i=15
j=20
k=25
　　i=15
j=36
k=39
　　i=16
j=30
k=34
　　i=16
j=63
k=65
　　i=18
j=24
k=30
　　i=18
j=80
k=82
　　i=20
j=21
k=29
　　i=20
j=48
k=52
　　i=21
j=28
k=35
　　i=21
j=72
k=75
　　i=24
j=32
k=40
　　i=24
j=45
k=51
　　i=24
j=70
k=74
　　i=25
j=60
k=65
　　i=27
j=36
k=45
　　i=28
j=45
k=53
　　i=30
j=40
k=50
　　i=30
j=72
k=78
　　i=32
j=60
k=68
　　i=33
j=44
k=55
　　i=33
j=56
k=65
　　i=35
j=84
k=91
　　i=36
j=48
k=60
　　i=36
j=77
k=85
　　i=39
j=52
k=65
　　i=39
j=80
k=89
　　i=40
j=42
k=58
　　i=40
j=75
k=85
　　i=42
j=56
k=70
　　i=45
j=60
k=75
　　48
55
73
　　48
64
80
　　51
68
85
　　54
72
90
　　57
76
95
　　60
63
87
　　65
72
97