Question

在平行四边形abcd中 ae垂直bc于e,AF垂直CD于F,三角形AEF的两条高相较于M,AC等于20,EF等于16,求AM的长

Answer 1

延长EM交AD于G,
在平行四边形ABCD中，AE⊥BC,FM⊥AE,
∴FM∥BC∥AD,
同理EM∥CD∥AB,
∠AGM=∠D=∠B,设为a,则∠EMF=∠ACD=180°-a,
设AD=m,AB=EG=n,由余弦定理，
AC^2=m^2+n^2-mncosa,
AG=ncosa,MG=DF=mcosa,
∴AM^2=AC^2*(cosa)^2，
ME=EG-MG=n-mcosa,MF=GD=m-ncoa,
在△EMF中由余弦定理，
EF^2=(n-mcosa)^2+(m-ncosa)^2+2(n-mcosa)(m-ncosa)cosa
=n^2+m^2(cosa)^2-2mncosa
+m^2+n^2(cosa)^2-2mncosa
-2(m^2+n^2)(cosa)^2+2mn[cosa+(cosa)^3]
=(m^2+n^2-2mncosa)(sina)^2
=AC^2*(sina)^2,
∴AM^2+EF^2=AC^2，AC=20，EF=16，
∴AM=12.

Answer 2