Question

设函数fx的定义域为(-l,l)

设函数f(x)的定义域为(-l,l),证明必存在(-l,l)上的偶函数及奇函数h(x),使得f(x)=g(x)+h(x)
书上证明过程：假若g(x)、h(x)存在,使得f(x)=g(x)+h(x),（1）,
且g(-x)=g(x),h(-x)=-h(x)
于是有f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)-h(x),（2）
利用(1)、（2）式,可以做出g(x)和h(x),这个启发我们做如下证明：
g(x)=[f(x)+f(-x)]/2
h(x)=[f(x)-f(-x)]/2
则 g(x)+h(x)=f(x),
g(-x)=[f(-x)+f(x)]/2=g(x),
h(-x)=[f(-x)-f(x)]/2=h(x)
我的问题是:
g(x)=[f(x)+f(-x)]/2
h(x)=[f(x)-f(-x)]/2
得出这一步,不是假设存在偶函数g(x)和奇函数h(x)才得到的吗,为什么还用它去证最后一步
g(-x)=[f(-x)+f(x)]/2=g(x),
h(-x)=[f(-x)-f(x)]/2=h(x),
这样不就是矛盾了吗,用假设去证它本身是奇偶函数?

Answer 1

注意那句"这个启发我们做下证明"
解答已经说了是通过假设存偶函数g(x)和奇函数h(x)得到g(x)和h(x)的表达式,从而启发我们想到如何去构造g(x)和h(x)的.