Question

已知函数f(x)=ax(x<0) (a-3)x+4a(x≥0）满足对任意x1≠x2,都有（f(x1)-f(x2))/x1-x2

已知函数f(x)=a^x(x<0) (a-3)x+4a(x≥0）满足对任意x1≠x2,都有（f(x1)-f(x2))/x1-x2<0成立，
则实数a的取值范围是____

Answer 1

解：由题设[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)＜0.易知，在R上，函数f(x)递减，一方面，当x＜0时，f(x)=a^x递减，∴0＜a＜1,另一方面，当x≥0时，函数f(x)=(a-3)x+4a也递减，且f(0)≤1.即a-3＜0,4a≤1.∴a≤1/4.综上可知，0＜a≤1/4.

Answer 2

对于不等式f(x1)-f(x2)/(x1-x2)＜0
当x1＜x2时，就有：x1-x2＜0
所以：f(x1)-f(x2)＞0
即说明函数f(x)在定义域R内为减函数
①
当x＜0时，f(x)=a^x
所以，f'(x)=a^x*lna＜0
则，0＜a＜1………………………………………………（1）
②
当x≥0时，f(x)=(a-3)x+4a
所以，f'(x)=a-3＜0
则，a＜3……………………………………………………（2）
而，要保证在整个R上f(x)均为减函数
所以：在x趋近于0的时候，a^x≥(a-3)x+4a
lim<x→0->f(x)=lim<x→0->a^x=1
lim<x→0+>f(x)=lim<x→0+>(a-3)x+4a=4a
所以，1≥4a
则，a≤1/4…………………………………………………（3）
联立(1)(2)(3)得到：
0＜a≤1/4